Infos zu den Übungsaufgaben

  • Hier gibt es eine Lösung zur 2. Klausur.
  • Auf Blatt 12 wurde die 3. Aufgabe geändert. Die neuen Übungsblätter gibt es auf der offiziellen Seite und werden im Tutorium ausgeteilt.
  • Auch auf Blatt 9 sind zwei unwesentliche Fehler: Die Corioliskraft ist natürlich doppelt so groß wie die Zentrifugalkraft (d.h. Gl. (1) bzw. (3) muss lauten

    dv/dt = g + 2v [ + (r ) ] )

    Lösungshilfen: Die Indizes t und n beziehen sich nicht auf Tangential-/Normalkoponenten, sondern t soll für typische Größen, n für Einheitsvektor in Richtung der Größe stehen.
    1. Hier geht es darum eine kleine Größe einzuführen. Da nach Aufgabe klein sein soll, ist diese dieser nat¨lich proportional. Um bei der Entwicklung nicht mit Einheitenproblemen konfrontiert zu werden, macht man diese auch noch durch vt bzw. gt dimensionslos (das machen die ersten beiden Gleichungen in Gl. (4)). Am Ende solltet ihr also eine Differentialgleichung für v bekommen in der nur noch die Konstanten , vt, g, sowie die Einheitsvektoren gn und n vorkommen.
    2. Hier soll man nun die DGL entwickeln - setzt also den Ansatz ein und ignoriert alle Terme mit 2. Nachdem ihr auch noch die Lösung der 0. Ordnung Störungsrechnung eingesetzt habt, erhaltet ihr eine DGL, die nur noch von g, v0, vt und n abhängt.
    3. Hier eliminiert man nun vt durch Gl. (4) (vieles kürzt sich) und kriegt durch integrieren die Bahnkurve (Gleichung).
    4. Hier wird nun das mathematische RWP durch die Angabe der Randbedingungen vollständig bestimmt und erhält so kürzere, speziellere Bewegungsgleichungen. (Erst hier fallen die Integrationskonstanten weg!)
    5. Jetzt gibt's noch passende Werte zum Einsetzen und damit nen praktisches, physikalisches Ergebnis.
    6. Und nochmal das ganze in 3. Ordnung, damit man die Auswirkung der Zentrifugalkraft sieht.
  • Achtung auf Blatt 6 haben sich zwei Fehler eingeschlichen! Gleichung (3) muss lauten:
    / 1 0 0 \
    R'(1) = | 0 1 0 | cos
    \ 0 0 1 /
    / 11 12 13 \
    + | 21 22 23 | (1 - cos) / 2
    \ 31 32 33 /
    / 0 3 -2 \
    + | -3 0 1 | sin /
    \ 2 -1 0 /
    (allgemeine Drehmatrix um die Achse und Winkel ||)

Differentialrechnung:

  • Ableitungsregeln (df/dx = f '(x)):
    • Produktregel: d(uv)/dx = du/dx v + u dv/dx
    • Kettenregel: du/dx = du/dvdv/dx

  • Integrationsregeln: (dx f(x) = f(x) dx):
    • partielle Integration: dx u v' = uv - dx u' v
    • Substitutionsregel: dx u(y(x)) = dy dx/dy u(y)

  • wichtige Funktionen, deren Ableitungen und ihre Taylorreihe um x = 0:

    f(x) (1+x)n ex ln(|1+x|) sin(x) cos(x) (1-x2)-1/2 sinh(x) cosh(x) (1+x2)-1/2
    df/dx n (1+x)n-1 ex 1/(1+x) cos(x) -sin(x) Arcsin(x) cosh(x) sinh(x) Arsinh(x)
    Tf,x=0 1
    + nx
    + n(n-1)/2 x2
    + ...
    1
    + x
    + 1/2x2
    + ...
    - x
    - 1/2x2
    - ...
    x
    - 1/6x3
    + ...
    1
    - 1/2x2
    + ...
    1
    + 1/2x2
    - 1/24x4
    + ...
    x
    + 1/6x3
    + ...
    1
    + 1/2x2
    + ...
    1
    - 1/2x2
    + 1/24x4
    + ...

Vektorrechnung:

  • Vektor (z.B. 2 dimensional):
    v = (v1, v2)T

    (Dabei bezeichnet (v1, v2)T den transponierten Vektor, also den Spaltenvektor, den man bekommt, wenn man die Komponenten übereinander statt nebeneinander schreibt und umgekehrt)
  • Skalarprodukt:
    vTw = j vj wj = |v| |w| cos v,w

  • Vektorprodukt:
    (v w)i = jk ijk vj wk

  • Betrag:
    |v| = (vTv)1/2 = (j vj2)1/2

  • Matrixprodukt:
    (AB)ij = k Aik Bkj

    (Entsprechend das Produkt einer Matrik mit einem Vektor)
  • Transponierte:
    (AT)ij = Aji

  • Determinante:

    det A = p (-1)Ord(p) A1p(1) ... ANp(N) =3D ijk ijk A1i A2j A3k

    (Dabei bezeichnet N die Dimension; p einen Vektor, bei dem die Zahlen 1 bis N genau einmal als Komponente auftritt (Permutation); Ord(p) gibt an, ob die Zahlen in der richtigen Reihenfolge stehen (gerade/ungerade Permutation))
  • Drehmatrix <=> det D = 1, DDT = 1
    Im 3-dimensionalen ist jede aktive Drehung um eine Achse mit Winkel gegeben durch:

    Dij = ijcos + ij/2 (1-cos) - k ijk k/ sin

    Passive Drehungen (Rotationen eines Vektors, nicht eines Koordinatensystems) erhält man durch vertauschen von durch -.
  • Äußeres Produkt: eiejT ist die Matrix die nur in der i-ten Zeile und j-ten Spalte eine Eins hat - sonst besitzt sie nur Nullen.
  • Koordinatenschreibweise:
    v = vi ei
    D = Dij eiejT

  • wichtige Symbole bei Indexschreibweise:

    ij = { 1, i = j ijk = {  1, (ijk) gerade
    0, sonst -1, (ijk) ungerade
     0, sonst

  • Kontraktion des Epsilontensors:

    i ijk ilm = jl km - jm kl

Vektoranalysis:

  • Beschleunigung/Geschwindigkeit:
    a = dv/dt = d2r/dt2
    (Ableitung komponentenweise)
  • Während Kurven r(t) nur von einer (skalaren) Variablen abhängen, haben Felder Vektoren als Veränderliche. Man unterscheidet Skalarfelder (r) von Vektorfeldern F(r), je nach dem, ob die Abbildungen skalar- oder vektorwertig sind.
  • Nablaoperator in kartesischen Koordinaten:
    = (/x, /y, /z)T
    Bei der partiellen Ableitung /x leitet man nur nach x ab, wobei man alle anderen Variablen von den das nachfolgende Feld noch abhängen, wie y und z, als konstant betrachtet werden.
    Je Anwendung des Nablaoperators unterscheidet man

    • Divergenz  div F = F,
    • Rotation    rot F = F
    • Gradient    grad = .

  • Kurvenintegrale löst man üblicherweise durch Parametrisierung der Bahnkurve C:

    Cdr F(r) = dt dr(t)/dt F(r(t))

    Ist der Definitionsbereich des Vektorfeldes sternförmig, so kann aus dem verschwinden der Rotation, die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals geschlossen werden. D.h. es hängt nur von dem Start- und Endpunkt ab. Wählt man in diesem Fall den Startpunkt fest, so kann man ein skalares Potential abhängig vom Endpunkt definieren.

Physikalisches:

  • Gallileitransformation (aktive Drehung mit Matrix D, Relativgeschwindigkeit v und Verschiebung um c):
    Vektoren:

    rneu(t) = DTralt(t) - vt - c

    Koordinatensystem (Ursprung o, Achsen ei):

    oalt = oneu + vt + c
    eialt = Deineu

  • In rotierenden Bezugssystemen wirken die Scheinkräfte:
    Die Corioliskraft ist für kleine klein und bewirkt eine Ablenkung orthogonal zum Radialvektor:

    FC = 2v

    Die Zentrifugalkraft ist für kleine , r vernachlässigbar; sie kann in Radialrichtung wirken:

    FZ = (r )

  • Der harmonische Oszilator hat das Potential

    V(x) = 1/2 2mx2.

    Seine Lösungen sind die harmonischen Schwingungen und werden in komplexer Schreibweise allgemein beschrieben durch

    x(t) = Aei t + Be-i t.

    Die komplexen Parameter A und B sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt, durch deren richtige Wahl ist x(t) natürlich reell wird. Dem harmonischen Oszilator kommt in der Physik eine wichtige Rolle zu, da fast jedes Potential um die Gleichgewichtslage entwickelt einen solchen darstellt. Wichtige Beispiele sind die Feder mit Kraftkonstanten k = m2 und das Pendel mit Länge l = g / . Variationen sind der gedämpfte Oszilator mit Reibungskraft FR = -v, bei dem komplex wird und die gekoppelten Oszilatoren mit veränderten Schwingungsfrequenzen und Schwebungen.

  • Das klassische Zweikörperproblem kann mit Hilfe der Einfürung von Schwerpunkts- (R = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2)) und Relativkoordinaten (r = r2 - r1) in ein Einkörperproblem umgewandelt werden. Diese lässt sich mit Hilfe der Energieerhaltung weiter vereinfachen. Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgt, dass die Richtung von L = r p erhalten ist und somit die Bewegung in einer Ebene liegt. Die Einführung von Polarkoordinaten liefert für das Gravitationspotential Hyberbeln ( > 1), Parabeln ( = 1) oder die keplerschen Ellipsen als Lösung r() = p/(1 + cos). Die exakte Lösbarkeit macht die Sonderstellung des Problems aus; wesentlich tragen dazu die bekannten Erhaltungssätze bei. Schon das 3 Köperproblem ist nicht mehr exakt geschlossen lösbar.

Das Wichtigste in Kürze

  • Tutorium (#12): Freitags, 9.45 Uhr in Zimmer 10.1
  • Beratungstutorium: Dienstags, 14.00 Uhr im Cafe Physik
  • Übungsblätterabgabe: bis Mittwoch, 12.30 Uhr, in den Kasten im Ergeschoss des Hochhauses (Paarabgabe!)
  • Scheinkriterien: 50% von den Übungen, 50% von der Summe der beiden Klausuren und 30% in der 2. Klausur
  • Orientierungsprüfungskriterien: 30% in der 2. Klausur
  • Es gibt eine Nachklausur Anfang des neuen Semesters, die eine der beiden Klausuren ersetzen kann.
  • Zu den Klausuren dürfen nur weises Papier, Schreibzeug (nur bei der ersten Klausur: ein doppelseitig selbst beschriebenes (nicht ausgedrucktes!) DinA4-Blatt) mitgenommen werden!

Hier geht's zur offiziellen Hompage

Fragen beantworte ich übrigends auch gerne, z.B. per Mail oder einfach im Zimmer 10.14 vorbeikommen.