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Material zu den Übungsaufgaben

  • 8b) Transfermatrix für eine kastenförmige Potentialmulde der Breite b (mit s := k1 + k2 und k := k2 - k1):

    M(k1,k2) = (4k1k2)-1

    (

    s2exp[-ikb] - k2exp[ isb]     -sk(exp[ ikb] - exp[-isb])

    )

    -sk(exp[-ikb] - exp[ isb]) s2exp[ ikb] - k2exp[-isb]    

  • 8c) Da nur eine Welle von links einläuft, ist der Transmissionskoeffizient durch das Betragsquatrat des linken oberen Eintrag in M gegeben.

    T = 16k12k22 |s2 exp[-ikb] - k2 exp[ isb]|-2
    = 16k12k22 [s4 + k4 - 2s2k2 Re(exp{ i (k+s) b})]-1
    = 16k12k22 [s4 + k4 - 2s2k2 cos(k2 b)]-1
    =mit cos(2x) = 1 - 2sin2(x) 16k12k22 [(s2 - k2)2 + 4s2k2 sin2(k2 b)]-1

    T wird maximal wenn der Nenner minimal wird, d.h. für k2b = n Pi. Wenn also die Wellenzahl k2 gerade zur Breite des Potentialtopf passt.

  • 11: Auch Sonnensysteme ohne Planeten gelten als solche.
  • 20: Tipp: M = sum n |n><n+1| (|n>...n-ter Einheitsvektor)
    a) Die letzten beiden Fragen bitte nicht nur aus der ersten folgern!
    Für Mathematiker: Der Unterschied zwischen hermitesch und selbstadjungiert ist, dass damit ein Operator selbstadjungiert ist auch noch die Definitiosbereiche von O und O+ übereistimmen müssen.
  • 21: Die allgemeine Unschärferelation ergibt sich aus der Schwarzschen Ungleichung (Definition des Winkels zwischen Vektoren) für hemitesche Operatoren:

    ||a|| ||b|| cos()  =  <a|b>
    <a|a><b|b> >= |<a|b>|2

    Mit a = (A - <A>), b = (B - <B>) und Aufsplitten der rechten Seite in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Teil ({C,D} := CD + DC Antikommutator, [C,D] := CD - DC Kommutator):

    <(A - <A>)2><(B - <B>)2> >= 1/4 <{A - <A> , B - <B>}>2 + 1/4 |<[A - <A> , B - <B>]>|2
    >= 1/4 |<[A - <A> , B - <B>]>|2
    >= 1/4 |<[A,B] - [<A>,B] - [A,<B>] + [<A>,<B>]>|2
    >= 1/4 |<[A,B]>|2

  • 23c) Aus den Erwartungswerte für die Wellenfunktion im J2, J3 Eigenzustand ergibt sich

    h2(j(j+1) - m2) = <J2 - J32> = 1/2 <J+J++ + J++J+>
    = 1/2 (<J++  | J++ > + <J+  | J+ >) >= 0

    wegen der positiven Definitheit des Skalarprodukts. Es gibt also ein maximales und minimales m.
    Betrachtet man die beiden Terme oben einzelnd, so erhält man:

    0 =< <J+-  | J+- > = <J2 - J32 -+ hJ3> = h2(j(j+1) - m(m+-1))

    Diese quadratischen Ungleichungen zerfallen in:

    |m| =< j   |m| >= j+1

    Die zweite Ungleichung widerspricht der obersten, somit bleibt nur die erste und damit gilt mmin = -j, mmax = j.
    m muss gerad- oder halbzahlig sein, da man sich mit J+ in k Schritten von mmin nach mmax hocharbeiten kann:

    j - k = mmax - k = mmin = -j    =>   j = k/2 c IN0/2

  • 28: Berechnet man den Kommutator von einer Drehimpulskomponente und dem zugehörigen kanonischen Winkel so erhält man [Lz,] = -ih. Da dies eine Zahl ist, nimmt der Erwartungswert immer diesen Wert multipliziert mit der Norm des Zustands an.
    Berechnet man nun selbigen für die Lz-Eigenzustände im Rahmen des Operatorformalismus so erhält man:

    <m|[Lz,]m> = <m|Lzm> - <m|Lzm>
    = <Lzm|m> - <m|Lzm>
    = hm <m|m> - hm <m|m>
    = 0

    Der Fehler bei dieser Umformung besteht allerdings im zweiten Schritt: Legt man sich auf eine bestimmte Basis fest, so tritt beim hermitischen Konjugieren Lz im Skalarproduktes durch das Integral noch der Randterm der partiellen Integration auf. Dieser entspricht gerade -ihm*()m()|02 und verschwindet im Gegensatz zu Rechnungen bei kartesischen Koordinaten nur, wenn m(2) = 0 ist. Für die Lz-Eigenzustände m = exp[im] berechnet sich der Randterm zu:

    -ihm*(2)2m(2) = e-2ime2im = 1 = -2 = 02d 1ih
    = -ih02d m*()m()

    In der Funktionalanalysis sieht man dies, in dem man die Definitionsbereiche betrachtet: Da für = 0 und = 2 die Wellenfunktion den gleichen Wert annehmen muss, führt die Multiplikation mit i.a. aus L2 hinaus. Man kann daher die Multiplikation mit nur für Wellenfunktionen zulassen für die (0) = (2) = 0 gilt. Diese Forderung gilt damit auch für den Kommutator von Lz und . Nun erfüllen die Eigenfunktionen m = exp[im] diese Forderung nicht, d.h. man darf den Kommutator nicht wie oben auf diese anwenden!
  • Hilbert-Raum-Formalismus: Während man in der klassischen Mechanik den Zustand eines Systems durch einen Punkt im Phasenraumder Raum der durch alle Orts- und Impulskoordinaten aufgespannt wird, d.h. durch einen Vektor im IR-Vektorraum darstellt, beschreibt man diesen in der Quantenmechanik durch einen im C-VektorraumGenauer im (seperablen) Hilbertraum, das ist ein vollständiger, (separabler) Vektorraum mit Skalarprodukt. Während man in der klassischen Mechanik üblicherweise die Vektoren durch Pfeile über den Buchstabenin Anlehnung an affine Räume, z.B. der nur durch die Ortskoordinaten aufgespannt wird, wenn man sich noch einen Koordinatenursprung wählt (anschauliche Vorstellung von einem Vektorraum) symbolisiert, benützt man nun die Bra- und Ket-Notation:

    Vektor a |a>
    adjunkter Vektor a+ <a|
    SKP a+b <a|b>
    ONS bj+bk = j,k <bj|bk> = j,kGeht man vom Vektorraum auf den Dualraum (uneigentlicher Hilbertraum) über, so tretten auch nicht normierbare Vektoren auf. Für eine solche ONS, geht das Kronecker-Symbol in die Delta-Distribution über.
    vollständiges ONS a cj: a = cjbj Geht man vom Vektorraum auf den Dualraum (uneigentlicher Hilbertraum) über, so tretten auch nicht normierbare Vektoren auf. Enthält die Basis solche Vektoren, so geht die Summe in ein Integral über.|bj><bj| = 1<bk|a> = cj j,k
    Komponenten in x-Darstellung ax = ex+a (x) = <x|>
    Matrixelement Mmn = em+Men Mmn = <m|M|n>

    Mit dem neuen Formalismus lässt sich nun die Messgrößen der WellenmechanikDort legt man sich auf eine bestimmte Darstellung fest (meistens die Ortsdarstellung), und beschreibt somit den Zustand durch eine Distirbution, während die Operatoren dann auch in dieser Darstellung als Kombination aus Mulitplikations- und Differentialoperatoren geschrieben werden Koordinaten unabhänig schreiben:

    <A> = dx (x)* Ax (x) = dx' dx (x')* Ax'x= Axx'x (x)
    = <dx' |x'> <x'|A dx |x> <x|> =vollständiges ONS <|A|>


Das Wichtigste in Kürze

  • Tutorium (#10): Mittwochs, 11.30 Uhr in Zimmer 10.1
  • Beratungstutorium: Freitags, 14.00 Uhr im Zimmer 12.1
  • Übungsblätterabgabe: bis Dienstag, 11.30 Uhr, in den Kasten im Ergeschoss des Hochhauses.
  • Scheinkriterien: 50% von den Übungen und 50% in der Klausuren
  • Es gibt eine Nachklausur Anfang des neuen Semesters, die die nicht bestandene Klausur ersetzt.
  • Zu den Klausuren dürfen nur weises Papier, Schreibzeug, ein Wörterbuch und ein doppelseitig selbst beschriebenes (nicht ausgedrucktes!) DinA4-Blatt mitgenommen werden.

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Fragen beantworte ich übrigends auch gerne, z.B. per Mail.