Material zu den Übungsaufgaben

  • zu Aufgabe 21: In der Quantenoptik werden wie bei dieser Aufgabe die Paulimatrizen etwas anderes definiert:
    Da es Strahlungsfeld beliebig viele angeregte Zustände gab, definierte man dort den ersten Basisvektor als Grundzustand. Der Operator a+ führt in einen angeregteren Zustand. Analog verfährt man nun bei der Basis des Spins. Durch den Grundzustand als ersten Basisvektor ergibt sich im Hamiltonian ein Minuszeichen vor der Paulimatrix:

    Hspin = - 1/2 heqz

    Da nun der Operator + in eine Anregung erzeugen soll, vertauscht sich die Rolle von + und - gegenüber der üblichen Definition. Damit werden auch die Kommutatorrelationen verändert (vgl. mit den Beziehungen von Aufgabe 4):

    [+,-] = z
    [z,+] = - 2 +
    [z,-] = 2 -

  • zu Aufgabe 17: Achtung hier hat mal wieder der Fehlerteufel zugeschlagen: Neben einer kleinen Wortverdopplung im b-Teil bezeichnet dort Eab den Erwartungswert, während dies im a-Teil als Wahrscheinlichkeit eingeführt wurde. Letzteres muss Pab heißen! Die Erwartungswerte im c-Teil müssen also neu berechnet werden.
  • zu Aufgabe 16: Analog wie oben für die Aufgabe 6 für eine Drehung um die z-Richtung gezeigt, ist die Matrix des Basiswechsels einer allgemeinen Drehung mit den Winkel um die Achse n für einen Spinvektor durch

    U = exp(-i /2 n).

    gegeben.Das Minuszeichen entsteht durch den Übergang von aktiver zu passiver Drehung.
  • zu Aufgabe 15: Hier gibt es einen Fehler auf der ersten Version des Übungsblattes: Die unteren Grenzen der beiden Integrale müssen natürlich MINUS unendlich lauten. Analog sollte die Störung

    V(t) = V exp(t) exp (-it)

    mit positiven sein.
  • zu Aufgabe 8: Die Formeln der zeitunabhänigen nichtentarteten Störungstheorie lauten, je nach Phasenkonvention, für den Hamiltonian H = H0 + V:

    normierter Zustand unnormierter Zustand
    Phasenwahl 0< m | n > reel 0< m | n > = 1
    En(1) 0< n | V | n >0
    | n >1 k Wnkn / Enk | k >0
    En(2) k n | Wnkn |2 / Enk
    | n >2 k,l n Wnkl Wnln / (EnlEnk) | k >0     k,l n Wnkl Wnln / (EnlEnk) | k >0
    - 1/2 k n | Wnkn | 2/ (Enk)2 | k >0
    En(3) k,l n Wnnk Wnkl Wnln / (EnlEnk) -k n Wnnn | Wnkn | 2 / (Enk)2
    Literatur Cohen-Tannoudji Sakurai, Schwabl

    mit   Wnlm = 0< l | ( V - 0< n | V | n >0 ) | m >0   und   Elm = El(0) - Em(0)  .
    Durch eine andere Phasenwahl kann sich auch die Formel zur Energiekorrektur in zweiter Ordnung ändern. In speziellen Systemen, z.B. wenn der Hamiltonian so zerlegt werden kann, dass die Zustände erster und nullter Ordnung linear abhängig sind, kann dies sogar zum Verschwinden des Beitrags in zweiter Ordnung führen.

  • zu Aufgabe 6: Die zeitabhängige unitäre Transformation kann wie folgt hergeleitet werden: Um ins mitrotierte Bezugssystem zu gelangen, wendet man die Transformation

    / cos t -sin t 0 \
    A = | sin t cos t 0 |
    \ 0 0 1 /

    auf alle Vektoren des Vektorraums(Passive Drehung) Alternativ kann man auch die Transponierte Matrix auf die Basisvektoren anwenden (aktive Drehung). Dann muss unten allerdings auch U durch U+ ersetzt werden (s. den Eintrag in meinem Theo A-Tutorium). an. Da der Hamiltonian in der Spindarstellung, der SU(2)-Gruppe, gegeben ist, muss nun ein Isomorphismus gefunden werden, der diese Gruppe auf die dreidimensionalen Drehgruppe, der SO(3), abbildet. Nun muss das Skalarprodukt unabhägigIn der Quantenmechanik sind die Meßgrößen durch das Skalarprodukt unter dem zugeorneten Operator gegeben. Da physikalischen Eigenschaften aber nicht von der mathematischen Basis abhängen darf, muss das SKP also unabhängig von dieser sein. von dieser Darstellung sein. Daher suchen wir eine unitäre SU(2) Transformation, die z.B. auf die Paulimatrizen in dem Paulivektor wirkt, die das gleiche Skalarprodukt liefert, wie die Transformation A auf einen beliebigen dreidimensionalen Vektor e:

    e'+U+U = e+ = e+A+A = e'+A

    / U+xU \ / x cos t - ysin t \
    | U+yU | = | x sin t + ycos t |
    \ U+zU / \ z /

    Aus der dritten Koordinate erkennen wir, dass die Transformation U mit z kommutiert. Sie kann also nur von z oder des Einheitsoperators abhängen. Letzterer wäre allerdings nur eine Änderung der komplexen Phase der Wellenfunktion, was einer Verschiebung des Zeit-Nullpunkts entspricht. Da außerdem U unitär ist, wird die Transformation

    U = exp(i u z)

    bestimmt. Der freie Parameter u kann nun leicht durch Vergleich der ersten Koordinate bestimmt werden. (Die Rechnung dafür wurde schon in Aufgabe 4b durchgeführt.) Somit erhält man die Transformation

    U = exp(it/2z).

  • zu Aufgabe 4+: Nützliche Formeln beim Rechnen mit Spins:

    [Sx,Sy] = ihSz und zyklisch
    [Sz,S+] = hS+ und entsprechend für S-
    [S+,S-] = 2hSz
    S+ = Sx + i Sy
    S- = Sx - i Sy
    S2 |s sz > = hs(s+1) |s sz >
    Sz |s sz > = hsz |s sz >
    S+ |s sz > = (s - sz)(s + sz + 1) |s sz+1 >
    S- |s sz > = (s + sz)(s - sz + 1) |s sz-1 >
    S+S- = Sx2 + Sy2 + hSz
    S1S2 = 1/2(S1+S2- + S1-S2+) + S1zS2z
    S1S2 = 1/2(S1 + S2)2 - 1/2 S12 - 1/2 S12


Bilder der Zeitentwicklung

Wellenfunktion Operatoren
Schrödingerbild S(t) = UH (0)   OS(t) = O(0)
Heisenbergbild H(t) = (0) OH(t) = UH+ O(0) UH
Wechselwirkungsbild   I(t) = UV(0) OI(t) = UH0+ O(0) UH0
 
mit H = H0 + V und dem Zeitentwicklungsoperator:

UA(t) = exp(-iAt/h)


Tensorrechnung

  • Ein Tensor Tm: (Kn)m -> K über einem Köper K ist eine multilineare skalare Abbildung:

    T(aA1aea, bA2beb, ... , zAmzez) = ab...zA1aA2b ... Amz T(ea, eb, ... , ez)

    Damit ist das Transformationsverhalten der Tensoren gegeben. m heißt Stufe des Tensors. Für eine bestimmte Basis definiert man

    Tab...z = T(ea, eb, ... , ez)

    Damit ist eine Matrix ein Tensor zweiter Stufe.Man denkt dabei meist an das Skalarprodukt, das dieser Matrix zugeordnet ist.
  • Das kartesische Produkt vereinigt zwei unterschiedliche Tensorräume indem man die Koordinaten des zweiten Tensors an dennen des ersten anhängt:

    = / 1 \
    / 1 \ / 0 \ | 0 |
    \ 0 /  \ 2 / | 0 |
    \ 2 /

  • Da das kartesische Produkt die Orthogonalitätseingenschaft nicht erhält, definiert man das Tensorprodukt, bei dem man den zweiten Tensor in den ersten einsetzt, d.h. die einzelnden Koordinaten des ersten Tensors mit dem zweiten Tensor multipliziert:

    = / 0 \
    / 1 \ / 0 \ | 2 |
    \ 0 /  \ 2 / | 0 |
    \ 0 /

  • Befinden sich die beiden Tensoren bereits im selben Raum, so geht dieses in das äußere Produkt über:

    / 1 \  / 0 \T = / 0 2 \
    \ 0 /  \ 2 / \ 0 0 /


Das Wichtigste in Kürze

  • Tutorium (#12): Dienstags, 15.45 Uhr in Zimmer 11.12
  • Beratungstutorium: Freitags, 14.00 Uhr in Zimmer 10.1
  • Übungsblätterabgabe: Es findet keine Abgabe statt. Am Anfang des Tutorium gibt man die Aufgaben an, die man vorrechnen kann.
  • Scheinkriterien: 50% von den Übungen und 40% in der Summe der beiden Klausuren oder bei weniger Übungspunkten: 50% von der Summe der Klausuren.
  • Es gibt eine Nachklausur Anfang des neuen Semesters, die die schlechtere Klausur ersetzt.

Hier geht's zur offiziellen Hompage der Vorlesung, während es die Übungsblätter und Musterlösungen hier gibt.
Fragen beantworte ich übrigends auch gerne, z.B. per Mail oder einfach im Zimmer 10.14 vorbeikommen.